Kretanje tela u Suncevom sistemu

Danas, na samom pocetku novog veka i milenijuma, mozda je pravo vreme da se "podvuce crta" i da se sumiraju naucni rezultati i dostignuca, odnosno da se definise ono sto predstavlja istorijsku dimenziju, savremeni trenutak i pravce buduceg razvoja jedne klasicne naucne oblasti kao sto je nebeska mehanika. Ovaj kratki napis nema naravno ambicija da na apsolutno precizan i sveobuhvatan nacin predstavi citavu oblast i ukupan postignuti napredak, vec da predoci jedno licno, dakle neminovno i subjektivno, vidjenje stanja i trendova u oblasti; namera autora je bila da se to u tekstu koji sledi ostvari na razumljiv nacin, blizak svakom zainteresovanom i bar donekle upucenom citaocu, svesno rizikujuci pri tom da se ucine izvesni propusti i uvedu neka neizbezna pojednostavljenja.

Nebeska mehanika je nauka koja se bavi izucavanjem kretanja nebeskih tela, u prvom redu clanova naseg planetskog sistema - velikih planeta, asteroida (malih planeta), kometa i meteora. U uzem smislu, pod tim nazivom podrazumeva se skup analitickih metoda za odredjivanje kretanja, ili preciznije, promena putanjskih elemenata⁽¹⁾ nekog nebeskog tela u vremenu, dok se odgovarajuce numericke procedure izucavaju u okviru tzv. teorijske astronomije. Premda je ovakva podela u proslosti imala izvesnog osnova, narocito sa stanovista prakticne primene i u edukativnoj sferi, moze se slobodno reci da je ona danas skoro u potpunosti prevazidjena. Kompjuterska revolucija omogucila je spektakularan napredak posebno numerickih tehnika, ali i razvoj i stalno usavrsavanje kombinovanih - semianalitickih, odnosno seminumerickih metoda, tako da je granica izmedju ovako, prevashodno metodoloski, razdvojenih oblasti skoro sasvim nestala. Ako tu dodamo i cinjenicu da su se iz klasicnih disciplina poslednjih decenija razvile znacajne specijalizovane oblasti, kao sto su galakticka i zvezdana dinamika ili teorija kretanja vestackih satelita, onda mozemo reci da je savremena nebeska mehanika, u stvari, deo sireg konglomerata naucnih disciplina, koje jednim imenom mozemo nazvati dinamickom astronomijom.

Covek se za kretanje nebeskih tela interesovao jos od najstarijih vremena, valjda jos od momenta kada je po prvi put racionalno artikulisao svoju radoznalost u odnosu na svet koji ga okruzuje. Za potrebe ovog kratkog osvrta mi cemo pomenuti samo jedan mali broj ljudi ciji se doprinos razvoju nebeske mehanike svakako moze smatrati znacajnim, a u nekim slucajevima i presudnim.

Kopernik Nikola (Copernicus, Nicolaus) poljski astronom, (1473-1543)

Kepler Johan (Johannes Kepler) - nemacki astronom i matematicar, (1571-1630)

Njutn Isak (Isaac Newton) - engleski astronom, fizicar i matematicar (1642-1727)

Podjimo, dakle, od Kopernika, Keplera i Njutna ciji su heliocentricni sistem, zakoni planetskog kretanja i zakon univerzalne gravitacije postavili temelje ne samo nebeske mehanike, nego i nauke i racionalne ljudske spoznaje uopste. Kraj XVIII i prva polovina XIX veka obelezeni su radovima Laplasa, Lagranza i, nesto kasnije, Gausa; prva priblizna resenja jednacina planetskog kretanja, linearna teorija sekularnih poremecaja i metode za odredjivanje putanjskih elemenata iz posmatranja samo su neki od najznacajnijih rezultata iz tog perioda koji se i danas primenjuju u praksi. Druga polovina XIX veka vreme je daljeg razvoja i usavrsavanja klasicnih teorija, ali i pocetak sustinskog preispitivanja i dubokog poniranja u samu prirodu kretanja i njegovu stabilnost; Leverje, Tiseran, Njukomb i Hil su neka od najvecih imena toga doba, ciju krunu nesumnjivo predstavljaju radovi Poenkarea (da pomenemo samo njegov originalni dokaz neintegrabilnosti sistema diferencijalnih jednacina kretanja nebeskih tela). Birkhof, Kolmogorov, Arnold, Mozer i Ljapunov su naucnici koji se nisu bavili neposredno i iskljucivo samom nebeskom mehanikom, ali cije su ideje i radovi presudno uticali na njen savremeni razvoj, na konacno oblikovanje novog pogleda na prirodu kretanja nebeskih tela i na formulisanje citavog niza novih metoda za izucavanje tog kretanja. Konacno, pocetkom savremenog perioda mogao bi se nazvati period 60-tih godina XX veka kada je, radovima Deprija i Horija, uveden u praksu formalizam kanonickih transformacija jednacina kretanja zasnovanih na redovima Lija. Kraj veka obelezili su brojni i znacajni radovi veceg broja naucnika, koji pripadaju, uslovno receno, razlicitim "skolama" - evropskoj (Kontopulos, Kolombo, Roj, Enrar, Fresle, Feraz-Melo, Laskar, Milani, Sofel, K.Marej...), japanskoj (Hagihara, Hori, Kozai, Kinosita, ...) i americkoj (Bruver, Sebehelji, Bruke, Visdom, Barns, Tremen, ...). Mlade snage na velikoj svetskoj sceni nebeske mehanike u ovom trenutku predvode Morbideli, N. Marej, Holman, Levison, Klioner, Breiter i dr.

Slobodno se moze reci da su malobrojni srpski nebeski mehanicari u razvoju ove nauke odigrali dosta zapazenu ulogu, naravno, zahvaljujuci pre svega akademiku Milutinu Milankovicu. Njegovo grandiozno naucno dostignuce - astronomska teorija ledenih doba, je, doduse, tipicno multidisciplinarno delo, ali su i osnovna ideja i tehnicki dokaz zasnovani pre svega na klasicnom nebesko-mehanickom aparatu. Milankovic je dugo godina na beogradskom univerzitetu predavao nebesku mehaniku, a napisao je i dva izuzetna udzbenika iz te oblasti koji su i danas u upotrebi.

Posle Milankovica treba svakako pomenuti akademika Vojislava Miskovica, profesore Jovana Simovljevica, Jovana Lazovica i Bozidara Popovica, zatim aktuelne univerzitetske predavace, profesore Mikea Kuzmanoskog i Iliju Lukacevica, nase ljude koji su u raznim periodima otisli u inostranstvo, doktore Petra Muzena, Radmila Djordjevica i Zlatka Catovica i konacno istrazivace sa Astronomske opservatorije Milorada Protica, magistre Vojislavu Protic-Benisek, Dragomira Olevica, Boru Jovanovica, Radeta Pavlovica i konacno, autora ovog teksta.

Dugo se verovalo da je kretanje nebeskih tela u sustini deterministicko, tj. da se odvija u skladu sa zakonima koji se mogu izraziti preciznim matematickim jednacinama sa konacnim resenjima; prema tom konceptu kretanje se moze apsolutno tacno odrediti; potrebno je samo da se znaju ta konacna resenja jednacina kretanja i da se raspolaze dovoljno tacnim pocetnim uslovima, tj. polozajima nebeskih tela u nekoliko poznatih vremenskih trenutaka ili intervala. Ovakvo verovanje bilo je utemeljeno na prvobitno dosta uspesnom i jednostavnom predstavljanju kretanja pomocu Keplerovih i Njutnovih zakona, odnosno uproscene teorije poremecenog kretanja, ali i na nedovoljnoj tacnosti posmatranja, zbog cega nije bilo moguce utvrditi bitnija odstupanja stvarnog kretanja nebeskih tela od onog predvidjenog racunskim putem. Smatralo se otud da je, stalnim usavrsavanjem teorije poremecenog kretanja i unapredjenjem tacnosti posmatranja, moguce doci do tacnih resenja koja bi vazila za sva vremena.

Prvo je, naravno, praksa poljuljala opisano verovanje. Sve veca odstupanja sve tacnijih posmatranih i odgovarajucih racunatih polozaja, problemi sa nalazenjem konacnih resenja za precizno odredjivanje kretanja u dugim vremenskim intervalima, sa dokazivanjem stabilnosti tog kretanja i sl. doveli su do toga da se klasicna resenja dovedu u pitanje i preispitaju sa sasvim novih stanovista. Iako je vec znatno ranije utvrdjeno da je broj poznatih integrala sistema diferencijalnih jednacina kretanja u problemu N tela (vidi kasnije) nedovoljan da se nadju konacna resenja, prelomni period u tom smislu za nebesku mehaniku nastupio je tek krajem XIX i pocetkom XX veka.

Zadrzimo se samo na vec pomenutoj Poenkareovoj demonstraciji neintegrabilnosti jednacina kretanja, sto u sustini predstavlja dokaz da naprosto nije moguce naci resenja jednacina kretanja u konacnoj formi. Sam po sebi, ovaj dokaz jos uvek ne znaci da stvarno kretanje nebeskih tela nije deterministicko, vec da je mozda samo nas matematicki aparat nedovoljno savrsen da bi potpuno i tacno obuhvatio svu kompleksnost planetske dinamike. Ipak, cinjenica da je Poenkareov dokaz zasnovan na neizbeznoj divergenciji razvoja tzv. funkcije poremecaja⁽²⁾ u red, zbog postojanja tzv. malih imenilaca⁽³⁾, dovela je na kraju i do pokusaja da se iz "corsokaka" izadje novim promisljanjem same prirode kretanja i dovodjenja u sumnju do tada vladajuceg deterministickog koncepta.

Ne treba ni pominjati kakvu je revoluciju u nauci uopste izazvala pojava Ajnstajnove teorije relativnosti, formulisane u specijalnoj i zatim i opstoj formi pocetkom XX veka. Poznato je, takodje, da je kao jedan od glavnih dokaza u prilog ove teorije cesto navodjeno uspesno objasnjene anomalnog kretanja Merkurovog perihela, koje nije moglo biti protumaceno samo na osnovu prilaza i metoda klasicne nebeske mehanike. Mi se, medjutim, ovde necemo suvise zadrzavati na ovoj teoriji naprosto zato sto je o njoj toliko toga vec napisano i sto je sve to sigurno dobro poznato iole upucenijem citaocu; stavise, teorija relativnosti nije u samoj nebeskoj mehanici ostavila narocito dubokog traga, jer su relativisticke popravke u kretanju tela u nasem planetskom sistemu uglavnom zanemarljivo male. Moze se, dakle, reci da je teorija relativnosti za nebesku mehaniku znacajna pre svega po tome sto je oznacila definitivan raskid sa starim nacinom razmisljanja o prirodi prostora-vremena i kretanja, a ne toliko po neposrednim primenama u naucnoj praksi. U poslednje vreme stvari se doduse menjaju: sa porastom tacnosti odredjivanja polozaja i racuna orbita i produzavanjem vremenskih intervala obuhvacenih tim racunima, sve cesce se uzimaju u obzir i relativisticki efekti. Javlja se i citava nova naucna oblast - relativisticka nebeska mehanika (Brumberg, Sofel, Robutel i dr. spadaju medju najpoznatije istrazivace u novoj oblasti), ali se ipak sve to desava na margini glavnih zbivanja i aktuelnih tokova u oblasti.

Novi koncept prirode kretanja nebeskih tela ustanovljen je u formalnom smislu u drugoj polovini XX veka, kada su nagli razvoj i masovna upotreba kompjutera omogucili racunanje promena elemenata kretanja u veoma dugim vremenskim intervalima (trenutno se radi o stotinama miliona godina), odnosno izucavanje dinamicke evolucije u periodima u kojima suptilni i dotada neuhvatljivi fenomeni iskazuju svoje kumulativno "makro-dejstvo". Znatno bolja tacnost posmatrackih podataka omogucila je, sa svoje strane, merenje i analizu veoma malih poremecajnih efekata i sve bolje razumevanje slozenosti kretanja na "mikro-nivou" (tj. daleko ispod praga tacnosti ranijih teorija). Teorijski temelji novog koncepta tzv. haoticnog kretanja, udareni su u pionirskim radovima Kolmogorova, Mozera i narocito, kada je nebeska mehanika u pitanju, Arnolda, dok je rodonacelnik prakticnih metoda za detektovanje i "merenje" haosa svakako Ljapunov ciji maksimalni karakteristicni eksponenti⁽⁴⁾ i danas predstavljaju najpouzdanije i najcesce koriscene indikatore haoticne prirode kretanja, ali i parametre pomocu kojih se mogu uporedjivati haoticna stanja i meriti njihov relativni "intenzitet". Ne ulazeci ovde u analizu i objasnjavanje komplikovanih matematicko-mehanickih postulata, ogranicicemo se, za potrebe ovog pregleda, na jednu pragmaticnu definiciju haoticnog kratanja. To bi, dakle, bilo takvo kretanje koje se ne moze sa potrebnom tacnoscu ni kvalitativno predvideti, ni kvantitativno precizno odrediti, narocito u duzim vremenskim intervalima. Drugim recima, radi se o tome da je kretanje svih nebeskih tela, pa tako i tela u nasem planetskom sistemu, u sustini haoticno, ali se makroskopski efekti haosa ne moraju, u svakom slucaju i u svakoj prilici, neposredno uocavati. Otuda kretanje odredjeno sa nekom manjom tacnoscu moze da izgleda kao potpuno regularno i odredivo. Danas se, u praksi, kretanje cija je haoticna komponenta ispod praga tacnosti sa kojom mozemo ili zelimo da odredimo to kretanje jednostavno naziva "stabilnim" i za njegovo odredjivanje se koriste klasicne metode. S druge strane, medjutim, razvijen je citav arsenal novih metoda koje se u savremenoj nebeskoj mehanici koriste upravo za izucavanje haoticnih dinamickih fenomena.

U klasicnoj nebeskoj mehanici kretanje svih tela, sa izuzetkom kometa, razmatrano je uvek i samo u okviru tzv. gravitacionog problema N tela, u kojem je jedina sila koja deluje medju telima (tackastim masama) njutnovska privlacna sila, proporcionalna proizvodu masa tela i obrnuto proporcionalna kvadratu njihovog medjusobnog rastojanja. Obicno se u modelima planetskog sistema uzimalo da je N<=10 (Sunce i odredjeni broj velikih planeta), a zanemarivan je uticaj tela male mase - satelita, asteroida, kometa i sl. Ovaj uprosceni prilaz bio je moguc, jer su svi ostali uticaji (kao sto su uticaji negravitacionih sila, popravke zbog konacnih dimenzija tela, relativisticki efekti i dr.) i po vise redova velicine manji od gravitacionih. Tako je napr. uticaj spljostenosti planeta na kretanje ostalih planeta neznatan, jer one nikada ne prilaze jedne drugima na rastojanja manja od nekih 10 000 planetskih radijusa - otuda su njihove dimenzije uopste, a pogotovo odstupanja njihovih oblika od idealne sfere, sasvim zanemarljivi u odnosu na njihova medjusobna rastojanja; relativisticki efekti su reda velicine odnosa Suncevog gravitacionog radijusa (~1.4 km) i rastojanja datog tela od heliocentra, sto cak ni u slucaju Merkura ne premasuje jedan desetmilioniti deo Suncevog privlacnog dejstva, itd.

Ipak, vrlo brzo je postalo jasno da sam klasicni prilaz i samo sila gravitacije nisu dovoljni da se objasne svi posmatrani dinamicki fenomeni i dobro poznate "anomalije" u kretanju tela u planetskom sistemu, za koje ponekad cak nije bila neophodna ni narocito velika preciznost merenja polozaja da bi se sa sigurnoscu moglo utvrditi njihovo postojanje. Bilo je, dakle, potrebno pronaci nove odgovore, identifikovati nove sile i njihovim delovanjem objasniti uocene efekte.

Prvi primer uspesnog objasnjenja anomalija u kretanju tela u planetskom sistemu postojanjem merljivih negravitacionih efekata, predstavlja kretanje kometa. Putanje kometa najcesce su veoma izduzene (ekscentricne) elipse, koje se prilikom prolaza komete kroz perihel bitno menjaju, tako da ponekad cak mogu da izgledaju i kao hiperbolicne. Jezgra kometa, tipicno 1 - 10 km u precniku, predstavljaju neku vrstu konglomerata leda i silikatnih cestica; prilikom bliskog prolaza komete pored Sunca jezgro se zagreva, led isparava, pa se nastali gas, zajedno sa cesticama prasine, oslobadja da bi se, pri tom, formirali koma i rep komete. Dinamicka reakcija jezgra na izbacivanje gasa je promena brzine i pravca kretanja, dakle promena putanje. Iako ima dosta pokusaja da se ovi efekti na odredjeni nacin modeliraju i predvide, rezultati su uglavnom samo kvalitativno primenjljivi. Tako zbog vece kolicine gasa koji se stvara na strani jezgra okrenutoj Suncu, sila reakcije ima radijalnu komponentu orijentisanu u smeru od Sunca, ali se javlja i znacajna transverzalna komponenta usled rotacije jezgra i termicke inercije zbog koje pravac maksimalnog intenziteta izbacivanja gasa odstupa od subsolarnog meridijana. Kvantitativno medjutim, pre prolaza kroz perihel, moguce je samo grubo proceniti ocekivane efekte, dok se stvarna velicina efekata odredjuje tek nakon prolaza komete kroz perihel i njenog udaljavanju od Sunca (kada isparavanje prestaje), iz poredjenja "stare" i "nove" putanje.

I dok se kretanje velikih tela u planetskom sistemu, dakle samih planeta, njihovih prirodnih satelita i vecih asteroida, moze opisati sa dovoljnom tacnoscu i kada se uzmu u obzir samo gravitacione interakcije, ova aproksimacija vise ne vazi za mala tela do ~ 1 m u precniku. Tako napr. fotoni i cestice koje Sunce izraci u medjuplanetarni prostor bivaju apsorbovani ili rasejani na cesticama medjuplanetarne prasine, sto proizvodi silu koja deluje na ove poslednje. Cestice u planetarnim prstenovima izlozene su osim toga i dejstvu magnetnog polja i radijacije maticnih planeta, sto dodatno komplikuje njihovo kretanje. Zajednicko svim negravitacionim silama je da su proporcionalne poprecnom preseku cestica, odnosno malih tela, sto znaci da su odgovarajuca ubrzanja obrnuto proporcionalna velicini tela. Tu se mogu ubrojati sila pritiska Suncevog zracenja, zatim Pointing-Robertsonov efekat (nastaje usled anizotropne reemisije apsorbovanog zracenja od strane samog malog tela) i efekat Jarkovskog - sila koja se javlja zbog razlika u temperaturi pojedinih delova povrsine tela (strana okrenuta Suncu je toplija i zraci u okolni prostor vise akumulirane toplote). Bez ulazenja u detaljnija teorijska razmatranja, ilustracije radi, navedimo ovde samo jedan podatak - efekat Jarkovskog, napr., kod tipicnog asteroida od 10 km u precniku (u zavisnosti od termickih osobina tela, brzine rotacije i orijentacije ose rotacije, kao i udaljenosti tela od Sunca), moze da dovede do sekularne promene velike poluose putanje asteroida od nekih 1,5 miliona km (0.01 AJ) u periodu od nekoliko stotina miliona godina. To je sasvim dovoljno da telo iz oblasti stabilnog kretanja, u kojem se moglo nalaziti i vise milijardi godina, predje u neku susednu haoticnu oblast i da, zahvaljujuci haoticnoj difuziji i ubrzanoj dinamickoj evoluciji, u relativno kratkom vremenskom intervalu bude cak izbaceno iz Suncevog sistema.

Konacno, cestice u interplanetarnom prostoru imaju elektricni naboj, zahvaljujuci jonizujucem dejstvu Suncevog ultraljubicastog zracenja, odnosno usled pojave diferencijalnog toka elektrona i jona u plazmi. Naboj u spoljasnjem magnetnom polju proizvodi Lorencovu silu, no ta je sila relevantna samo za mikroskopske cestice.

Nas planetski sistem, sa mnostvom razlicitih tela i citavim spektrom osobina njihovih kretanja je poput velike prirodne laboratorije u kojoj se istovremeno odvijaju brojni dinamicki eksperimenti. Zato je vrlo tesko sa sigurnoscu predvideti u kom pravcu ce se kretati razvoj savremene nebeske mehanike i dinamicke astronomije u celini i koji ce se to problemi naci u zizi naucnog interesovanja u narednim godinama. Ipak ovde cemo pokusati da skiciramo neke mogucnosti i pomenemo izvesne naucne probleme i istrazivacke trendove, koji ce verovatno biti aktuelni bar u nekoliko narednih godina.

Jedan od izazova koji vec dugo stoji pred nebeskom mehanikom je svakako konacno dokazivanje dinamicke stabilnosti Suncevog sistema u celini u vremenskim intervalima reda velicine njegovog "zivotnog" veka (dakle, u periodu od nekih 10 milijardi godina). Nagli razvoj racunara koji ce vec u ovoj deceniji najverovatnije omoguciti numericke integracije u periodima tog reda velicine i primena brzih i tacnijih metoda i algoritama za efektivno provodjenje takvih integracija, trebalo bi da obezbede praktican dokaz onoga sto, iz cinjenice da su planete tu gde jesu vise milijardi godina, intuitivno na izvestan nacin vec znamo, tj. da je Suncev sistem makroskopski stabilan i da su vremena u kojima bi haoticna difuzija mogla dovesti do drasticnih poremecaja u kretanju velikih planeta duza od njegovog zivotnog veka. Moguce je da ce ova stabilnost, bar u nekoj pribliznoj varijanti i za pojednostavljeni dinamicki model sistema biti i formalno dokazana u okviru neke od modernih teorema analiticke mehanike (KAM teoreme, teoreme Nekoroseva i sl.).

Dalji razvoj poznatih analitickih metoda nebeske mehanike sve vise ce se zasnivati na tzv. algebarskoj manipulaciji jednacina kretanja i njihovih partikularnih resenja. Takodje ce se nastaviti razvoj novih metoda i matematickih alata za sve efikasnije i tacnije opisivanje bitnih ("srednjih") karakteristika kretanja u sve duzim vremenskim intervalima, kao i za sve bolje i efikasnije koriscenje posmatrackih podataka, sve tacnije odredjivanje putanja tela i sve racionalnije planiranje posmatranja. Narocito ce se raditi na unapredjenju teorije kretanja vestackih satelita, radi realizovanja sve slozenijih istrazivackih misija u Zemljinom okruzenju (novi svemirski teleskopi, in-situ istrazivanja Marsa, asteroida i kometa itd.)

Rezonance i haos (identifikovanje i merenje haoticnih ponasanja) ce sigurno i u narednim godinama biti u centru paznje, negravitacioni efekti i njihovo modeliranje, dinamika ekstrasolarnih planetskih sistema i jos mnogo toga izazivace radoznalost i zaokupljace paznju buducih istrazivaca. Savremenim nebeskim mehanicarima ostaje zadovoljstvo da novim generacijama ostavljaju zivu, zanimljivu i razgranatu naucnu oblast, primerenu novim izazovima i vremenu koje dolazi.

(2) Funkcija poremecaja je potencijal, ciji se parcijalni izvodi po koordinatama (elementima kretanja) javljaju na desnim stranama diferencijalnih jednacina kretanja. Skoro sve analiticke metode resavanja sistema jednacina kretanja zasnivaju se na nekom tipu razvoja funkcije poremecaja u red. Klasicno resenje koristi razvoj funkcije poremecaja u trigonometrijski (kosinusni) red po uglovnim elementima (napr. argumentu perihela, longitudi cvora i srednjoj anomaliji), gde su amplitude clanova razvoja predstavljene stepenim redovima po ekscentricnosti i nagibu, a cije su amplitude, sa svoje strane, linearne kombinacije tzv. Laplasovih koeficijenata i njihovih izvoda koji zavise od odnosa velikih poluosa putanja poremecenog i poremecajnog tela.

(3) Kada se jednacine kretanja integrale da bi im se naslo resenje, u imeniocima amplituda trigonometrijskih clanova razvoja funkcije poremecaja u red javljaju se linearne kombinacije tzv. srednjih kretanja, koja su sa svoje strane funkcije samo velikih poluosa planetskih putanja (veza je izrazena poznatom Keplerovom jednacinom). Ako su velike poluose posmatranih tela takve da su im srednja kretanja samerljiva (komenzurabilna), odgovarajuca njihova kombinacija postaje vrlo mala, amplituda odgovarajuceg clana funkcije poremecaja postaje vrlo velika i taj ce clan davati nesrazmerno uvecan, cesto i dominantan doprinos ukupnom resenju; u takvim slucajevima kazemo da se telo nalazi "u rezonanci".

(4) U praksi se haoticnost neke putanje odredjuje na osnovu brzine kojom se razilaze dve inicijalno bliske putanje. Ako je divergencija putanja, izrazena nekom pogodnom metrikom u faznom prostoru elemenata kretanja, spora ili je metrika stacionarna, kretanje je stabilno, a ako je eksponencijalno rastuca, kretanje je haoticno. Maksimalni karakteristicni eksponenti Ljapunova predstavljaju granicne vrednosti eksponenata kojima se izrazava haoticni rast metrike. Tzv. vreme Ljapunova je obrnuto proporcionalno maksimalnom eksponentu i predstavlja vreme za koje se rastojanje izmedju dve inicijalno bliske putanje poveca exp(1) puta.