Sadržaj
Glava1
Glava 2
Glava 3
Glava 4
Glava 5
Glava 6
Glava 7
Glava 8
Glava 9
Dodatak 1
Dodatak 2
Dodatak 3
Dodatak 4
Dodatak 5

Mihailo Čubrović
MODELIRANJE OBLIKA I KARAKTERISTIKA POVRŠINE ASTEROIDA
KORIŠĆENJEM OPTIČKIH KRIVIH SJAJA

---

6. Matematička teorija površine asteroida

Modeliranje površine, najveći korak napred u ovoj oblasti koji je do sada učinjen, uvodi potpuno drugačiji pristup problemu. Ovde ne postoje nikakve početne pretpostavke o obliku, niti se rešenje dobija kao najbolja aproksimacija tela “zadatog” krivama sjaja modelom zadatim na početku modeliranja. Ovi metodi se zasnivaju na teoriji koja matematički opsuje proizvoljnu površinu (tj. proizvoljan oblik) i daje zavisnost karakteristika krive sjaja od oblika. Takođe se mogu uvesti varijacije albeda, pa i varijacije proizvoljnih optičkih karakteristika površine, ali praktična primena do sada nije otišla tako daleko, i uglavnom obuhvata određivanje oblika i diskusiju varijacija albeda.

Do sada je predloženo nekoliko različitih matematičkih teorija površine asteroida, od kojih neke tretiraju površinu kao neprekidnu površ, a neke je aproksimiraju skupom diskretnih segmenata, najčešće ravnih površina. Prvi pristup je, naravno, realniji i bliže opisuje realnu površinu, dok su glavne prednosti drugog pristupa matematička jednostavnost i direktnija vizuelna interpretacija korišćenih matematičkih koncepata.

Kao što je ranije rečeno, prvi, za svoje vreme izuzetno napredni rad na ovu temu je Raselov. On je, kako zbog relativno primitivnog matematičkog aparata koji je koristio, tako i zbog nekih grešaka vezanih za proceduru inverzije, ostao neprimećen. Prvi pokušaji praktične primene ovog metoda datiraju iz 1992. godine (Kaasalainen et al, 1992a, b). Kasnije su izvršena još neka manja poboljšanja ovog metoda (Kaasalainen, 2000; Kaasalainen, Muinonen, 2001), ali bez suštinskih dobitaka. Metodi bazirani na tzv. poliedarskoj aproksimaciji razvijeni su ranije (Fulchignoni, Barucci, 1988), ali su manje usavršavani, svakako i zato što su jednostavniji, pa, kao takvi, i ne dozvoljavaju veća poboljšanja osim ispitivanja efekata različitih struktura na krivu sjaja (v. dalje). Svaki od ovih metoda zasniva se na odgovarajućem matematičkom modelu površine.

Metod poliedra razmatra asteroid kao površ sastavljenu od ravnih, proizvoljnih, međusobno jednakih, jediničnih segmenata; u praksi se pokazalo da je najpogodnije da to budu trouglovi ili, eventualno, romboidi. Svaki segment je definisan svojim položajem. Najpogodniji način definisanja njihovog položaja je uvođenje “koordinatnog sistema” (pod navodnicima zato što se ne radi o klasičnom koordinatnom sistemu, čije koordinate definišu koordinate tačke, već o veličinama koje definišu položaj segmenta) , čije koordinate odgovaraju, redom, rastojanju od centra i uglovima koje segment zaklapa sa horizantalnom i vertikalnom ravni, redom. Originalni pristup Baručija i Fulčinjonija zasniva se na klasičnom kartezijanskom koordinatnom sistemu; ovakav pristup je koristan pre svega kod relativno jednostavnih oblika, koji se u tom slučaju analitički zadaju jednačinama. Zbog prirode ovog načina opisivanja površine, nikakav opšti formalizam se ne može razviti; u svakom pojedinačnom slučaju, u zavisnosti od odabranog oblika (v. sledeći odeljak) treba izabrati pogodan koordinatni sistem i na osnovu njega razviti izraze koji opisuju površinu i njeno zračenje. U najopštijem slučaju, površina asteroida je definisana nizom koordinata segmenata:

    (33)

Površina definisana na ovaj način može biti bilo kakva zatvorena površina, konveksna ili nekonveksna. Naravno, površina mora biti zatvorena.

U slučaju analitički zadatog oblika, ovaj način definisanja je ekvivalentan sistemu jednačina koje opisuju sve komponente površine. Integralni sjaj u datoj geometriji posmatranja iznosi:

    (34)

pri čemu je - skup fizičkih parametara koji figurišu u zakonu odbijanja (koji u opštem slučaju zavisi od lokacije), - zakon odbijanja, a - površina jediničnog segmenta (koja ima karakter konstante koja ne utiče na oblik krive sjaja, pa se u praksi može izostaviti; ovde je navedena samo radi kompletnosti). Sumiranje se vrši po svim segmentima koji su osvetljeni i vidljivi sa Zemlje. Ostale oznake ostaju iste kao u ranijim odeljcima. U slučaju konstantnih fizičkih parametara i, npr. Lomel-Zeligerovog zakona, dobija se:

    (35)

Ako je oblik konveksan, određivanje vidljivih segmenata je trivijalno, s obzirom da su vidljivi oni segmenti za koje su upadni i odbojni ugao veći od nule; u zavisnosti od koordinatnog sistema dobija se eksplicitan uslov.

Neprekidna površina se opisuje korišćenjem formalizma diferencijalne geometrije. I u ovom slučaju površina se takođe može definisati jednačinom površi  u nekom koordinatnom sistemu:

    (36)

U tom slučaju sumiranje u jednačini (34) prelazi u integraciju:

    (37)

Kod asterocentričnog koordinatnog sistema, koji se kod ove teorije površine ubedljivo najčešće koristi (dopunjenog, u odnosu na prethodne odeljke, rastojanjem od centra ), uz uvođenje ugla , koji zaklapaju pravac normale na površinu i pravac normale na površinu u posmatranoj tački, izraz (37) postaje:

    (38)

Treba napomenuti da se ovde (i u svim budućim razmatranjima)  pod  podrazumeva tzv. asterocentrična ko-latituda, koja predstavlja ugao između pravca tačke na površini i pravca severnog pola asteroida; druga koordinata je klasična asterocentrična longituda.

Veoma važan koordinatni sistem u matematičkoj teoriji neprekidne površine je tzv. Gausovo mapiranje ili Gausova slika (engl. Gaussian image). Naime, ako se površina projektuje na jediničnu sferu svaka tačka površine je određena svojim sfernim koordinatama na sferi: ko-latitudom  i longitudom . Ovakvo mapiranje je moguće ako i samo ako je površina strogo konveksna (tj. konveksna bez ravnih preseka) – inače pomenute koordinate ne određuju jedinstvenu tačku na sferi.

Za opisivanje površine sada se mogu koristiti tzv. Gausova zakrivljenost  ili tzv. Gausova površinska gustina  (veza između ovih veličina je data u Dodatku 4). Jednačina (38) izražena preko površinske gustine ima oblik:

    (39)

U jednačinama (37-39) granice integracije odgovaraju uslovu da upadni i odbojni ugao budu pozitivni; detaljnija razmatranja data su u Dodatku 4.

vrh