Sadržaj
Glava1
Glava 2
Glava 3
Glava 4
Glava 5
Glava 6
Glava 7
Glava 8
Glava 9
Dodatak 1
Dodatak 2
Dodatak 3
Dodatak 4
Dodatak 5

Mihailo Čubrović
MODELIRANJE OBLIKA I KARAKTERISTIKA POVRŠINE ASTEROIDA
KORIŠĆENJEM OPTIČKIH KRIVIH SJAJA

---

7. Modeliranje površine asteroida

Modeliranje površine sastoji se u dobijanju parametara koji definišu površinu, opisanu preko nekog od formalizama iz prethodnog odeljka, a koji najbolje opisuju date krive sjaja. Ovakav problem je numerički često veoma komplikovan, a rešenje je najčešće nejedinstveno u još većem stepenu nego kod ranijih metoda. U pojedinim situacijama čak postoji beskonačno mnogo potpuno različitih modela koji podjednako dobro opisuju date krive. Broj krivih sjaja koje su neophodne za ovakvo modeliranje je znatno veći nego kod klasičnih metoda. Mada se rezultat može dobiti korišćenjem svega nekoliko krivih, pouzdani i stabilni rezultati se ne mogu dobiti bez desetak krivih, koje dobro pokrivaju različite geometrije posmatranja.

Metodi koji koriste diskretne segmente (Barucci, Fulchignoni, 1988; Cellino, Zappala, Farinella, 1989) za opisivanje površine najčešće minimizuju razliku između posmatranih krivih i krivih dobijenih rotacijom modela sa identičnom geometrijom posmatranja. Sintetičke krive se dobijaju korišćenjem izraza oblika (34), a uslov za minimizovanje odstupanja ima jednostavan oblik sistema jednačina identičnih jednačini (34), koji se mora rešiti nekim od boljih metoda za rešavanje nelinearnih sistema, uz korišćenje neke normalizacione tehnike, jer su se takvi sistemi u praksi pokazali kao nestabilni. Zakon odbijanja mora biti poznat, a polarna orijentacija i period prethodno određeni nekim od ranije opisanih metoda, mada se malim varijacijama ovih parametara mogu naći njihove preciznije vrednosti traženjem vrednosti koje, u kombinaciji sa rešenjem oblika, najbolje opisuju posmatrane krive. Dobro poznavanje polarne orijentacije je neophodno, dok period ne mora biti određen sa velikom preciznošću, jer se kod ovog metoda svaka kriva sjaja posmatra posebno.

U slučaju metoda koji koristi neprekidnu površinu (Kaasalainen et al, 1992a, b), proces modeliranja (koji se u literaturi obično zove fotomorfografija ili inverzija) je znatno komplikovaniji i zahteva mnogo više matematičkih i numeričkih postupaka, zbog prirode ovakvog modeliranja: ovde se ne postavljaju nikakva a priori ograničenja, osim konveksnosti oblika, a rešenje koje treba izračunati nije vektor koordinata, već funkcija (u praksi se ova funkcija takođe dobija u obliku određenih brojnih vrednosti, ali to ne menja suštinu problema, koji ostaje iz osnova drugačiji nego kod prethodnog metoda). I pored značaja koji ovaj metod ima u modernoj planetarnoj astronomiji, njegova složenost u matematičkom pogledu ne dozvoljava njegovo detaljno opisivanje. Ovde će biti dati samo osnovni koraci, detaljnija objašnjenja se mogu naći u Dodacima 4 i 5, a za detaljan prikaz ovog metoda preporučujem čitaocu pre svega radove Kasalainena i njegovih saradnika (Kaasalainen et al, 1992a, b; Kaasalainen, 2000; Kaasalainen, Muinonen, 2001a, b).

Osnovni zadatak inverzivnog metoda je rešavanje jednačine (39) po Gausovoj površinskoj gustini kao nepoznatoj funkciji. Zakon odbijanja mora biti poznat u eksplicitnom obliku. Krive sjaja očigledno moraju biti izražene u magnitudama, a ne u relativnoj osvetljenosti ili relativnoj magnitudi (jer se uzimaju u obzir i promene srednjeg sjaja u različitim aparicijama). Takođe, moraju biti poznate apsolutne rotacione faze, tj. ugao rotacije asteroida u odnosu na neku, izabranu epohu. Integralna jednačina ovog oblika poznata je kao Fredholmova jednačina prve vrste. Rešavanje ove jednačine spada u tzv. inverzivne probleme. Suština inverzivnih problema je traženje rešenja integralne jednačine koje zadovoljava sledeće uslove:

-          Ima najveću verovatnoću poklapanja sa tačnim rešenjem, tj. minimalno odstupanje od tačnog rešenja. Ovo je klasični uslov koji, u principu, izražava ono što se obično podrazumeva pod terminom “rešavanje jednačine”

-          Ima najmanje odstupanje od određenog a priori uslova, koji obezbeđuje stabilnost rešenja

Prvi uslov se, naravno, u ovom konkretnom slučaju svodi na traženje oblika koji najbolje opisuje krive sjaja, a drugi odgovara, pre svega, uslovu da oblik bude konveksan, ali i drugim zahtevima, koji su u većoj meri matematičke i statističke prirode, a odnose se na stabilnost rešenja, tj. na zahtev da rešenje ostaje relativno nepromenjeno pod uticajem malih varijacija u početnim uslovima.

Najpogodniji način za izražavanje nepoznate Gausove raspodele je korišćenje Laplasovih redova (redova sfernih harmonika; v. Dodatak 4). Na taj način broj nepoznatih se smanjuje na oko 10-20 (dok bi u slučaju proračuna za svaku tačku svake krive bile potrebne stotine, pa i hiljade nepoznatih). Prvo će biti razmotrene krive iz opozicije. U tom slučaju, zavisnost od faznog ugla i iskošenja, koji su jednaki nuli, se gubi sa obe strane jednačine, a upadni i odbojni ugao su jednaki. Sada važi:

    (40)

Jasno je (a može se i strogo dokazati) da se varijacija optičkih parametara površine (npr. albeda) ne može odvojiti od nepravilnosti oblika, tj. od površinske gustine. U principu, može se odabrati modeliranje ili varijacija albeda ili površine, ali se u praksi, kod većine asteroida radi modeliranje oblika (tj. površine), jer promene sjaja potiču pre svega od tog uzroka (retki izuzeci su npr. asteroidi tipa Veste). Zato je zavisnost od koordinata navedena samo kod površinske gustine. U pojedinim slučajevima, na osnovu dobijenog rešenja, može se proceniti poreklo varijacija sjaja. Razvojem u red površinske gustine (i albeda) dobija se:

    (41)

Navedena suma je teorijski beskonačna; naravno, u praksi se sumiranje vrši do određenog člana. Sa druge strane, posmatrane krive sjaja se, ako je za svaku krivu poznata geometrija posmatranja i apsolutna rotaciona faza , mogu takođe razviti u Laplasov red:

    (42)

Može se pokazati da iz (40), posle rotiranja koordinatnog sistema sledi:

    (43)

Sa  je obeležen sferni harmonik, stepena  i reda , sa  i - tzv. sferni koeficijent (tj. koeficijent koji nosi informaciju o obliku), redom u razvoju površinske gustine i u razvoju krivih sjaja. Član  nosi informaciju o zakonu odbijanja svetlosti, i računa se iz eksplicitnog oblika tog zakona (v. Dodatak 4). Izjednačavanjem (42) i (43) dobijaju se traženi koeficijenti:

    (44)

Dakle, svaki traženi koeficijent dobija se iz posebne jednačine. U praksi se pokazalo da informacije o nekim koeficijentima ostaju nedostupne, a da ni preciznost rešenja nije zadovoljavajuća. Ovaj postupak se zato preporučuje jedino kada nema dovoljno raspoloživih krivih sjaja, a može se primeniti kod posmatranja pri faznom uglu manjem od oko ; ako je moguće, ovaj postupak uvek treba zameniti opštijim.

U proizvoljnoj geometriji posmatranja opisani postupak se može uopštiti. Ako se izvrši razvoj površinske gustine (i konstantnog albeda) u Laplasov red i potom izrazi sjaj, kao u (43), dobija se:

    (45)

gde su - funkcije koje zavise od geometrije posmatranja, i koje nisu bitne za dalja razmatranja, dok članovi  imaju smisao zakona odbijanja (v. Dodatak 4). Sa druge strane, razvoj krivih sjaja u trodimenzionalni Furijeov red daje:

    (46)

Izjednačavanjem prethodne dve jednačine se dobija sistem:

      (47)

Prema tome, za svaki traženi koeficijent dobija se sistem od  linearnih jednačina. U praksi, neke od jednačina mogu biti nedefinisane, što zavisi od zakona odbijanja. Ovakav postupak je precizniji, ali je nestabilan i zahteva regularizaciju (v. Dodatak 5).

Mogućnosti fotomorfografskog metoda se ovde ne završavaju: može se npr. razmotriti efekat eventualnih varijacija albeda i mogućnost njihovog određivanja, moguće je uopštiti navedene tehnike tako da uključuju i određivanje polarne orijentacije, itd. Naravno, tada se pojavljuju još komplikovaniji matematički problemi čije razmatranje izlazi iz okvira ovog kratkog uvoda. Navedene tehnike imaju za cilj samo da opišu najosnovnije postupke i da pruže mogućnost za izgradnju pogodne procedure rešavanja, primerene konkretnim podacima.

Dobijanje oblika iz površinske gustine je relativno dobro proučen i pristupačan problem, ali zbog obimnosti i zamornog formalizma neće biti detaljno izlagan; osnovne tehnike date su u Dodatku 4.

Opisani fotomorfografski metod je, svakako, najbolji trenutno dostupni metod modeliranja asteroida. On uvodi kvalitativno nove poglede na ovaj problem, i pruža mogućnost veoma tačnog opisivanja površine. Ukoliko su dostupne dovoljno brojne i kvalitetne krive, moguće je detaljno modeliranje čak i lokalnih struktura. Važan zahtev koji se postavlja jeste poznavanje polarne orijentacije (mada se pokazalo da se mogu tolerisati greške do , uobičajene za današnje metode njihovog određivanja) i , naročito, veoma tačno poznavanje perioda (sa preciznošću reda veličine ), koju je danas uglavnom retko moguće postići, pa se malim varijacijama vrednosti perioda, njegova vrednost mora preciznije odrediti u toku procedure modeliranja. Sami numerički proračuni su veoma otežani zahtevom regularizacije rešenja, tj. mora se koristiti inverzija umesto klasičnog rešavanja jednačina. Čak i uz upotrebu veoma naprednih inverzivnih tehnika, loša posmatranja mogu veoma otežati ili onemogućiti nalaženje rešenja, što je razlog činjenice da je do sada svega nekoliko asteroida modelirano ovom metodom (16 Psycha, 39 Laetitia, 951 Gaspra, 44 Nysa, 349 Dembowska, 3 Juno). Naime, potrebne su veoma precizne krive koje dobro pokrivaju različite geometrije posmatranja. Broj krivih, naravno, treba da bude što veći, ali nije presudan, jer se pokazalo da nekoliko preciznih krivih koje dobro pokrivaju različite geometrije posmatranja pruža više informacija nego veliki broj loših, neravnomerno raspoređenih krivih sjaja. Zahtev za konveksnošću oblika, kako se u praksi pokazalo, ne predstavlja veliko ograničenje, jer lokalne nekonveksnosti (npr. krateri) ne ometaju inverziju; problem predstavljaju jedino globalno nekonveksni oblici, kakve imaju najmanji asteroidi. Razvoj ovog metoda svakako će pružiti poboljšanja i u ovom smislu. Najnoviji radovi vezani za ovu tematiku (Kaasalainen, Muinonen, 2001a, b) obećavaju velike napretke u skoroj budućnosti.

vrh